Monthly Archives: May 2012

L’Hopital’s Rule

$$ \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } x^{ \sin x } $$

$$ y = x^{ \sin x } $$

$$ \ln y = ln x^{ \sin x } $$

$$ \ln y = \sin x \ln x $$

$$ \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln y = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ \ln x }{ \frac{ 1 }{ \sin x } } $$

$$ \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln y = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ \ln x }{ \frac{ 1 }{ \sin x } } = lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ \frac{ 1 }{ x }}{ \frac{ – cos x }{ sin^2 x }} $$

$$ \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln y = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ – \sin^2 x }{ x \cos x } = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ – 2 \sin x \cos x }{ \cos x – x \sin x } = 0 $$

$$ e^{ \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln y } = e^{ 0 } $$

$$ \lim_{ x \rightarrow 0^{ + }} e^{ \ln y } = 1 $$

$$ \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } x^{ \sin x } = 1 $$