$$ \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } x^{ \sin x } $$
$$ y = x^{ \sin x } $$
$$ \ln y = ln x^{ \sin x } $$
$$ \ln y = \sin x \ln x $$
$$ \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln y = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ \ln x }{ \frac{ 1 }{ \sin x } } $$
$$ \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln y = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ \ln x }{ \frac{ 1 }{ \sin x } } = lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ \frac{ 1 }{ x }}{ \frac{ – cos x }{ sin^2 x }} $$
$$ \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln y = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ – \sin^2 x }{ x \cos x } = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ – 2 \sin x \cos x }{ \cos x – x \sin x } = 0 $$
$$ e^{ \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln y } = e^{ 0 } $$
$$ \lim_{ x \rightarrow 0^{ + }} e^{ \ln y } = 1 $$
$$ \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } x^{ \sin x } = 1 $$